なぜ突破の前には兆しがないのか：59.27% の臨界点

中国語ナレーション · 720p · 字幕トラック（中国語） · MP4

記事：1000 マスの方眼紙で「臨界点」の言葉を確かめる

「臨界点を越えない努力には意味がない」という言葉があります。厳しく聞こえますが、反論もしにくい言葉です。「臨界点」は、誰も避けて通れない線のように見えるからです。

この言葉を別の角度から見てみたいと思いました。数学には、まさに「いつ急に全体がつながるのか」を扱うモデルがあります。パーコレーション（浸透）と呼ばれるものです。1 枚の方眼紙で説明できるほど単純で、コンピューターに何度もシミュレーションさせることもできます。この記事は動画の文章版です。まず 1000 マスの方眼紙が 1 回つながる様子を見て、次にたくさんの紙を塗って臨界点を探し、最後にあの言葉がどこまで正しいかを確かめます。データは自分で回したシミュレーションで、臨界点の値は Jacobsen（2015）の計算を引用しています。

1. 1000 マスの方眼紙

ルールは少しだけです。方眼紙はちょうど 1000 マスで、上から下まで 25 段あります。マスをランダムな順番で 1 つずつ塗っていきます。塗ったマス同士が上下左右で接していれば、つながっているとみなします。斜めに接しているだけではつながりません。

つながったマスが一番上の段から一番下の段まで続いたら、貫通したと言います。見やすくするために、上から水を流します。水はつながったマスだけを伝って下へ流れ、届いたマスが光ります。

3 割塗ると、水は上から 4 段目まで光ります。4 割で 5 段目。半分塗っても 7 段目まで。58% 塗ると 9 段目まで光りますが、まだ貫通しません。

ここまでを見ると、あの厳しい言葉は正しそうです。紙の大半を塗っても、水は下まで届きません。

2. 592 マス目

さらに塗っていきます。592 マス目を塗ったとき、紙全体が突然貫通しました。たった 1 マス増えただけで、25 段が一気に光ります。

では、この道ができる前に塗った 591 マスは、無駄だったのでしょうか。

3. つながる前も、いちばん大きな塊は育っている

半分だけ塗った時点まで時間を戻します。つながったマスはいくつもの塊に分かれていて、いちばん大きな塊は 50 マスほどしかありません。塗り進めると、それは 200 マスを超えます。貫通まであと 1 マスの時点では 400 マスを超え、塗ったマス全体の 7 割以上を占めています。それでも、まだ貫通していません。

やっかいなのは、この変化が外からは見えないことです。貫通にいちばん近いときも、上から流した水は途中で止まります。いちばん遠いときと見た目は変わりません。

592 マス目がつながったのは、それまでのマスがすべてそこにあったからです。半分しか塗っていない紙に同じマスを置いても、どこにもつながりません。貫通したあとは、むしろ変化が速くなります。いちばん大きな塊は、すぐに塗ったマスの 9 割近くを占めるようになります。

4. 崖は 59.27% に立っている

とはいえ、592 マス目はこの紙がたまたまそうだっただけかもしれません。そこで、大きさの違う紙をコンピューターに何度も塗らせ、ある割合まで塗ったときに何回貫通しているかを数えました。

小さな方眼紙では、貫通する確率はゆっくり上がります。58% まで塗ると、100 回中 40 回あまりはもう貫通しています。ところが、とても大きな方眼紙を同じ割合まで塗っても、貫通するのは 100 回中 7 回だけでした。62% まで塗ると、大きな方眼紙は毎回上から下まで貫通しました。

紙が大きいほど、この曲線は崖のような形になります。紙が無限に大きいとき、崖はちょうど約 59.27% に立ちます。それより下では決して貫通せず、上では必ず貫通します。この位置が臨界点です。冒頭の言葉が指しているのは、これのことです。

5. 臨界点はネットワークの側にある

では、マスがつながる網の形を変えたら、崖は同じ場所にあるのでしょうか。答えはノーです。

正方形のマスは上下左右の 4 マスとしかつながらず、臨界点は 59.27% です。三角形のマスは 1 マスに 6 つの隣があり、臨界点はちょうど半分に下がります。マスを積み上げて立方体にすると、こちらも隣は 6 つで、臨界点は約 31% まで下がります。ルールはまったく同じなのに、立方体では塗る割合が半分近くで済みます。

つまり、臨界点はあなたの中にあるのではなく、あなたが立っている網の側にあります。同じ半分まで塗っても、立方体はとっくに貫通していて、正方形のマスはまだつながりません。

6. あの言葉は半分だけ正しい

冒頭に戻ります。臨界点を越えない努力には、本当に意味がないのでしょうか。私の答えは、「あの言葉は半分だけ正しい」です。

正しい半分は、無限に大きな正方形の方眼紙は、臨界点まで塗らなければ決して貫通しない、ということです。

間違っている半分は、貫通する前もいちばん大きな塊は育ち続けていて、貫通の直前には 400 マスを超えている、ということです。しかも現実の網はどれも有限です。さきほどの小さな方眼紙は、臨界点に届く前でも 100 回中 40 回あまり貫通していました。

ただし、はっきりさせておくべきこともあります。あなたの人生は方眼紙ではありません。方眼紙のマスはランダムに塗られますが、あなたの努力はランダムではありません。だから 59.27% という数字を、そのまま自分に当てはめることはできません。方眼紙が貸してくれるのは、この形だけです。臨界点の手前では変化が見えず、越えたとたんにすべてが一気につながる、という形です。

「人生で失敗する人の多くは、あきらめたときに成功までどれほど近づいていたかを知らない」という言葉を聞いたことがあるかもしれません。あと 1 マスのときも、水は 9 段目で止まっていて、半分しか塗っていないときとほとんど同じに見えます。臨界点の手前の努力は、意味がないのではなく、まだ見えないだけです。だから、まだ見えないうちにあきらめないでください。

7. 余談：ガスマスクから森林火災まで

あの言葉への答えはここまでです。最後に、それとは関係のない面白い話をいくつか。

正方形の方眼紙の臨界割合は約 59.27% ですが、正確な式はいまだに誰も見つけていません。数学者はコンピューターで近づけるしかなく、すでに小数点以下 14 桁まで計算されています。

このモデルの始まりは、炭鉱で働く人のガスマスクでした。マスクの中の炭の粒には細かい穴が無数にあり、それが迷路のようにつながっています。穴が十分につながっていれば、毒ガスは奥まで入り込んで吸着されます。つながりが足りなければ、表面で止まってしまいます。方眼紙の水が 9 段目で止まるのと同じ理屈です。1957 年、イギリスの研究者 Broadbent と Hammersley がこの問題を数学のモデルにし、パーコレーションと名付けました。コーヒーの粉に水がゆっくり染みていく、という意味です。

物理学では、こうした急な変化を相転移と呼びます。水が 0 度で凍るのも相転移です。森の木が十分に密に生えていれば、火は森全体を燃え抜けます。人と人の接触が十分に密なら、感染症は人の間を広がっていきます。地下の岩の割れ目がつながってはじめて、中の石油が流れ出します。

森林を守る人やワクチンを打つ人は、網をつながらせたくありません。あなたは、自分の網をつなげたいはずです。方眼紙が臨界点に近づくほど、1 マスが紙全体の貫通を左右するようになります。これまでのマスが、あなたを崖のふちまで押し上げています。あの方眼紙は、あなたの 592 マス目を待っています。

データ：自分で回したシミュレーション。臨界点の値は Jacobsen（2015）の計算。モデルの起源：Broadbent & Hammersley（1957）。

動画（中国語ナレーション）は bilibili にも公開しています。