为什么爆发前毫无征兆？用一千格方格纸看临界点

中文旁白 · 720p · 字幕轨道 · MP4

文章：用一千格方格纸，检验「临界点」那句话

有一种说法流传很广：没超过临界点的努力毫无意义。这句话听着很残酷，也很难反驳，因为「临界点」看起来像一条谁都绕不开的线。

我想换个办法来看它。数学里正好有一个专门研究「什么时候突然连成一片」的模型，叫渗流（percolation）。它简单到可以在一张方格纸上演示，也可以交给计算机反复模拟。这篇文章是视频的图文版：先在一张一千格的方格纸上看一次连通，再换很多张纸找出临界点，最后回到那句话，看它到底对了多少。数据来自我自己的计算机模拟，临界点的数值引用 Jacobsen 2015 年的计算。

一、一千格的方格纸

规则只有几条。这张方格纸一共一千格，从最上面数到最底下有 25 层。我们按随机的顺序，把格子一个一个填上。两个填上的格子上下左右挨着，就算连在一起；只是斜着挨着的不算。

连在一起的格子如果从最上面一直通到最底下，就叫连通。为了看得清楚，我们从最上面往下灌水，水只能顺着连在一起的格子往下流，流到哪里，哪里就亮起来。

格子填到三成，水从顶上往下亮了 4 层。填到四成，亮到第 5 层。填到一半，也只亮到第 7 层。填到 58%，亮到第 9 层，还是没有连通。

看到这里，那句扎心的话好像是对的：填了大半张纸，水还是下不去。

二、第 592 格

接着往下填。填上第 592 格的时候，整张纸突然连通了。只多了这一格，25 层一下子全亮了。

问题来了：在这条路出现之前填上的那 591 格，真的白填了吗？

三、没连通的时候，最大的一团一直在长

我们把时间倒回到只填了一半的时候。这时连在一起的格子各成一团，最大的一团只有五十多格。接着往后填，最大的一团长到了两百多格。再填到只差最后一格时，它已经有四百多格，占了所有填上格子的七成多，可它还是没有连通。

麻烦在于，从外面看不出这些变化。离连通最近的时候，顶上灌进去的水也停在中途，看起来和最远的时候没有区别。

第 592 格之所以能接通，靠的是前面的格子都在。同样一格放在只填了一半的纸上，什么也接不上。连通以后，变化反而更快：最大的一团很快就占了填上格子的将近九成。

四、悬崖立在 59.27%

当然，第 592 格也可能只是这一张纸的运气。所以我让计算机换了很多张大小不同的纸，反复去填，统计「填到某个比例时，有多少次已经连通」。

小方格纸的连通机会是慢慢变大的。填到 58% 时，一百次里已经有四十多次连通了。可是很大的方格纸填到同样的比例，一百次里只有 7 次连通。再填到 62%，大方格纸每一次都从上到下连通了。

方格纸越大，这条曲线就越像一道悬崖。纸无限大时，悬崖正好立在约 59.27%：低于它就永远连不通，高于它就一定连通。这个位置就叫临界点，开头那句话说的就是它。

五、临界点长在网上

那么，格子连成的网换个形状，悬崖还在原来的地方吗？不在。

正方形格子只连上下左右 4 个邻居，临界点是 59.27%。三角形格子每格有 6 个邻居，临界点正好降到一半。把格子叠成立体方块，每格同样有 6 个邻居，临界点只剩 31% 左右。规则完全没变，立体方块要填的比例却少了将近一半。

所以临界点不长在你身上，它长在你站着的那张网上。同样填到一半，立体方块早就连通了，正方形格子还连不通。

六、那句话只对了一半

回到开头：没超过临界点的努力，真的毫无意义吗？我的答案是，这句话只说对了一半。

它说对的是：无限大的正方形格子，填不到临界点就永远连不通。

它说错的是：没连通的时候，最大的一团也在不停地长，快连通时已经长到了四百多格。而且现实里的网都是有限的。前面的小方格纸还没填到临界点，一百次里已经有四十多次连通了。

不过也要说清楚：你的人生不是方格纸。方格纸上的格子是随机填的，你的努力不是随机的。所以 59.27% 这个数字不能直接套在你身上。方格纸能借给你的，只是这个形状：临界点之前的变化你看不见，越过它，一切突然连成一片。

有句话你可能也听过：人生中很多失败的人，放弃时不知道自己离成功有多近。只差最后一格时，水还停在第 9 层，看起来跟只填一半时差不多。临界点之前的努力不是没有意义，它只是还看不见。所以别在还看不见的时候放弃。

七、题外话：从防毒面具到森林大火

那句话已经回答完了，最后聊几件和它无关的趣事。

方格纸的临界比例约是 59.27%，但至今没有人找到它的精确公式。数学家只能靠计算机去逼近，已经算到了小数点后十四位。

这个模型最早来自煤矿工人的防毒面具。面具里的碳粒布满细孔，细孔连成迷宫。连得够好，毒气就能钻进深处被吸住；连得不够，毒气只能停在表面。这和方格纸上的水停在第 9 层是同一个道理。1957 年，英国学者 Broadbent 和 Hammersley 把这个问题写成了数学模型，起名叫渗流，意思就是水慢慢渗过咖啡粉。

物理学家把这种突变叫相变，水在零度结冰也是相变。森林里的树长得够密，火苗就能烧穿整片林子；人和人接触得够紧，传染病就能顺着人群传开；地下岩石的缝隙连在一起，里面的石油才能流出来。

护林员和打疫苗的人，都想让网连不通；而你想让自己的网连通。方格纸越靠近临界点，填下的一格就越能决定整张纸通不通。前面的格子已经把你推到了悬崖边，那张方格纸正在等你落下第 592 格。

数据：自己的计算机模拟；临界点数值来自 Jacobsen（2015）的计算。模型的起源：Broadbent & Hammersley（1957）。

视频也发在 B 站。